El segundo jugador en su siguiente movimiento debe retirar una o dos monedas adyacentes de manera que forme dos grupos separados que tengan el mismo número de monedas.

Para ello, deberá proceder de la siguiente forma:. Ahora, la estrategia a seguir por el segundo jugador es retirar el mismo número de monedas, y en la misma disposición que retire el primer jugador en su turno, pero en el grupo contrario al que lo haga este.

Así, llegará un momento que el primer jugador retire todas las monedas de un grupo y el segundo jugador en su turno hará lo propio en el grupo restante ganando así el juego.

Observemos que en kayles, el segundo jugador busca la misma estrategia que en el círculo de monedas, es decir, formar dos grupos separados de monedas y repetir los movimientos que haga el primer jugador, pero en el grupo contrario.

Ahora bien, en este juego, el segundo jugador no podrá conseguir formar esos dos grupos siempre, pues esto dependerá tanto del primer movimiento que haga el primer jugador y del número inicial de monedas. Así, el segundo jugador no va a tener siempre una estrategia ganadora como ocurría en el juego anterior.

De hecho, un estudio general se presenta demasiado complejo para las pretensiones de este texto, pero sí vamos a mencionar cómo se podría proceder. Se trata de acercarse al estudio de los juegos de Nim en los que dos jugadores se turnan para quitar objetos de distintos montones.

Para ello, necesitaríamos realizar una introducción a los números o funciones de Grundy que nos proporcionarían en cada caso cuál es el jugador ganador dependiendo del número inicial de monedas y del número de montones. El lector interesado en ello puede encontrar un análisis detallado de esta forma de trabajo en Berlekamp, Conway y Guy, En lugar de ello, proponemos al lector que realice estudios particulares dependiendo del número inicial de monedas, usando los casos más simples para obtener conclusiones sobre los caso más complicados.

Supongamos ahora que, en el círculo de monedas cada jugador puede quitar en su turno el número de monedas adyacentes que desee. En este caso, el segundo jugador sigue teniendo una estrategia ganadora para cualquier número n de monedas inicial similar a la desarrollada anteriormente.

Evidentemente supongamos que no se pueden retirar todas las monedas en el primer turno y que el primer jugador no extrae en su turno la mitad de las monedas o más pues en ese caso el segundo jugador ganaría fácilmente retirando en su turno las monedas restantes.

Entonces, consideremos que el primer jugador ha retirado k monedas adyacentes. Tenemos dos casos:. Una vez en este punto, la estrategia es igual a la anterior, el segundo jugador debe copiar los movimientos del primer jugador, pero en el grupo contrario, con lo que será el ganador del juego.

Evidentemente esta misma variante se puede plantear para kayles pero, como hemos comentado anteriormente, el análisis completo del juego es complicado por lo que lo omitiremos. De forma más general se puede introducir como vimos los juegos de Nim y numerosas variantes de ellos.

Para desarrollar estos juegos en el aula, el docente debe partir de la premisa de que los alumnos ni mucho menos intentarán de primeras realizar análisis como los expuestos anteriormente. Lo que si debe esperar es que los estudiantes, siguiendo las fases de resolución de un juego expuestas en la sección anterior, experimenten con ellos y sean capaces de ir elaborando estrategias que les permitan ganar en ciertas situaciones.

Por un lado, en el círculo de monedas, al ser un juego en el que se conoce el jugador ganador antes de comenzar la partida, los alumnos deben llegar a dos conclusiones. Primero, si les interesa comenzar el juego o ser el segundo jugador y, segundo, cuál es la estrategia que deben seguir para ser los vencedores de la partida.

Por otro lado, en kayles, la tarea es mucho más complicada. El docente, previamente al desarrollo del juego en clase, puede elaborar estrategias ganadoras para cada jugador dependiendo del número inicial de monedas, y proponer el juego de cada caso por separado intentando que en cada uno de ellos el estudiante sea capaz de llegar a la estrategia ganadora.

Lo mismo ocurre con los juegos de Nim que se puedan proponer. Observemos que puede ser interesante además el intentar relacionar distintas estrategias llevadas en cada juego para que los alumnos comprendan que muchos razonamientos pueden ser válidos en distintas situaciones que se puedan presentar.

Notemos que el grado de abstracción y la capacidad de elaborar razonamientos complejos estarán al alcance de cursos de mayor nivel como los de Bachillerato, mientras que en niveles inferiores es más complicado que puedan llegar a conclusiones generales con una menor ayuda por parte del profesor.

Veamos por tanto cuáles pueden ser las formas más útiles de implementar tanto el círculo de monedas, kayles y juegos de Nim como las variantes de los mismos dependiendo de los distintos niveles y de los distintos cursos en los que se vaya a llevar a cabo, manteniendo siempre las características que estos deben tener propuestas en la sección anterior.

Para que los alumnos experimenten con el círculo de monedas se debe comenzar proponiendo un caso general de un número elevado de monedas, como por ejemplo unas 15 monedas.

Así, el juego cumplirá el carácter lúdico que debe tener, como vimos anteriormente. Posteriormente, en el caso en el que los alumnos no lleguen a obtener estrategias ganadoras en diversas situaciones, propondremos que comiencen jugando con un menor número de monedas de inicio.

Por ejemplo, si se pide al alumnado que comiencen jugando con 2, 3, 4 o 5 monedas verán paulatinamente que el segundo jugador es el que siempre resulta ganador.

Ahora bien, es importante que expongan las estrategias que han seguido en cada caso y que se pregunten si esa estrategia se puede llevar a un caso mayor.

Es posible que los alumnos no lleguen a obtener la estrategia final por lo que es preciso que el docente se acerque a ella explicando que la estrategia a seguir es dividir el conjunto de monedas en dos grupos separados y cómo conseguir llegar a ello para luego imitar los movimientos del primer jugador en el grupo contrario.

Todo ello siempre sin proporcionar respuestas directas, sólo guiando al alumnado en dicho proceso. Mencionar que la variante del círculo de monedas se puede exponer tanto anterior como posteriormente al análisis del juego inicial, pero siendo conscientes de que, al hacerlo posteriormente, puede resultar más factible un análisis del mismo mientras que, al hacerlo antes, dicha variante puede adquirir un componente más lúdico.

Lo mismo ocurre con kayles o los juegos de Nim, los alumnos pueden tomarlos de una forma más lúdica, pero sí que intentarán obtener estrategias ganadoras en situaciones dentro de cada partida, las cuales sean fácilmente observables.

Puede ser interesante comenzar en niveles más avanzados con la variante expuesta del círculo de monedas que puede resultar algo más compleja a la hora de realizar su análisis. Si ningún alumno es capaz de averiguar cuál es la estrategia ganadora para el número de monedas cualesquiera que se quieran extraer en cada turno, se les puede plantear que fijen dicho número e intenten estudiar cada caso por separado.

Por ejemplo, fijando en dos el máximo de monedas a extraer en un turno estaremos en las hipótesis del círculo de monedas el cuál es más sencillo de abordar a la hora de obtener estrategias ganadoras. Posteriormente, si los alumnos han sido capaces de obtener conclusiones certeras para el caso primero, se irá aumentando gradualmente el número de monedas que se pueden extraer como máximo en un turno hasta que observen que independientemente de ese número el segundo jugador siempre tiene la misma estrategia.

En estos cursos, sí que puede ser interesante realizar un estudio más avanzado de cada caso en los juegos de Nim o en kayles para cada caso inicial que se pueda presentar. Además, es importante como hemos comentado relacionar estrategias en cada uno de los casos y en cada uno de los juegos, pues como hemos comentado, numerosas situaciones pueden tener una estrategia análoga.

El juego del drago también conocido como sprouts en castellano: brotes es un juego para dos jugadores en el que se precisa el uso de bolígrafo y papel. El juego se encuentra propuesto en Berlekamp, Conway y Guy, b donde se realiza un análisis detallado del mismo además de aparecer en Gardner, Se dibuja una cantidad de puntos cualquiera.

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